突变理论及其应用

突变理论及其应用，突变理论（Catastrophe Theory）是新近诞生的一门边缘学科，也是一门迅速发展而有重大理论与实际意义的学科，现在分享突变理论及其应用。

　　突变理论及其应用1

研究的现象

某个因素的连续变化（往往还是光滑，理解为无限次可微）的变化可能导致系统性台的突然变化。

突变现象的研究工具

分叉理论——处理参数变化时某些定性性态的改变；

突变理论——系统处理并成功地解决大量实际问题。

突变理论的数学基础

常微分方程的解有三个要素（Poincare，19世纪）：结构稳定性、动态稳定性和临界性。

“粗”系统（Ahupohob和Nohtprtnh,1937）的提出确定了结构稳定性的概念。

Morse引理（1930）对突变理论的数学基础是一个重要贡献。

论文“曲面到平面的映射”（Whitney，1955）中指出：空间曲面到平面的投影只可能有两种奇异性，即折叠和尖点。这是突变理论分类表中最低阶的两种突变（Thom突变理论创始人）。

50年代——引入横截性概念研究结构稳定性，并证明梯度系统的结构稳定系统是稠的。（Thom）

60年代——对梯度系统即一类特殊的映射的奇点进行分类，并称之为“初等突变”，导致突变理论的建立。（Thom）

70年代——突变理论的奠基性著作出版（Thom，1972）。但没有对分类定理进行严格的数学证明。

以后——证明分类定理（Mather，Malgrange）；应用和普及（Zeeman）。

突变理论不是一个独立的数学分支。

分叉理论与突变理论

分叉理论的最一般形式：关于非线性方程平衡解的理论。平衡解：常解（即平衡点）、时间周期解和概周期解。分叉理论的研究对象：非线性微分方程支配的演化问题的平衡解的分叉；及第四种平衡解或定常运动形式——混沌。目前已经研究比较透彻的关系（如图1）。

图1四种定常运动形式之间的转化

突变理论研究多个参数变化时平衡点附近分叉情况的全面图像，特别是其中可能出现的突然变化；属于静态分叉，即平衡点之间相互转化问题。突变理论在某种意义上包含了静态分叉，而广义的分叉理论又在某种意义上包含了突变理论。

突变理论的研究对象

一般的，可以用定义在中的K个微分—积分方程来描述一个时间演化的系统，其中带有参数（见表1）。

第一次简化，不考虑积分项，将得到一个非线性偏微分方程组。

第二次简化，不考虑对位置的导数，即不考虑位置的`影响，得到一个非线性常微分方程组。

上述这些情况都难以给出一般性的结论。

第四次简化，得到一个动力学系统。已有较多研究。

第五次简化，得到一个自治动力学系统。当参数很少时（）,已经可以得到一些有用的结果。

第六次简化，导致一个梯度系统，已有相当多的结果。

第七次简化，考虑的是梯度系统的平衡点，即突变理论的研究对象：研究由解出的诸平衡点如何随控制参数的改变而改变。这种理论被称为初等突变理论。

对非梯度系统中平衡点和其他现象进行的研究有不少发展，如广义分叉理论、奇异性理论、动力学系统理论和混沌理论。

　　突变理论及其应用2

20世纪60年代末70年代初，突变理论“热”轰动一时。菲尔兹奖获得者、法国数学家勒内托姆从1968年开始陆续发表文章，论述“突变理论”。1972年，托姆出版《构造稳定性和形态发生学》一书，一时风靡全球。

托姆是一位卓有成就的拓扑学家。20世纪60年代以来，他致力于高维空间曲面的研究，用微分拓扑的方法分析曲面的奇点，并进行分类。

他考察由不超过4个自变量的函数（一个或两个）决定的曲面，用局部微分同胚的方法考察奇点周围的性质，共得出7种基本类型。每一种类型表示一种不连续现象，当变量进入分支区域时，函数可以取n个值，相当于n叶折叠的曲面，这表明在分支区域内，函数值处于不稳定状态，即可从一个值跳到另一个值。这正是不连续现象的特征。

托姆在《构造稳定性和形态发生学》这本书中，用微分拓扑中的结论去解释胚胎生长的突变、物理光学中的突变以及语言学上的突变等等。许多学科都涉及突然变化现象，这本书为这些突变现象提供了理论支撑，如胚胎学、人性学、医学、生态学、地质学、光学、激波、船舶稳定，甚至囚犯骚动、战争爆发、市场崩溃等等，都可以用突变理论来解释。

值得一提的是英国沃里克大学著名的数学教授齐曼在“突变热”中起了很大的推动作用。当他接触了托姆的突变理论后，便被吸引住了。他认为，微积分是一种数学模型，它能解释像地球绕太阳旋转那样连续变化的自然现象，并加以计算和预测。然而对于充满突变和跳跃的自然现象来说，这是太不够用了。

水突然沸腾，火山爆发，房屋倒塌，蝗虫急速繁殖，病人忽然休克，由量变发展为质变，乃是司空见惯的现象，但迄今为止，还没有一种数学理论能够从数量上给出一个模型。现在托姆居然做到了。齐曼十分兴奋，他组成一个研究团体，细心钻研，扩展应用。

齐曼教授称突变理论是微积分以后最重要的发现。

现在，突变理论在许多领域得到了越来越广泛的应用。

突变理论在在自然科学的应用是相当广泛的。在物理学研究了相变、分叉、混沌与突变的关系，提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型，解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现。

在化学中，用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液，用尖顶突变描述水的液、气、固的变化等。在生态学中研究了物群的消长与生灭过程，提出了根治蝗虫的模型与方法。在工程技术中，研究了弹性结构的稳定性，通过桥梁过载导致毁坏的'实际过程，提出最优结构设计……。

突变理论在社会现象的一个用归纳为某种量的突变问题，人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。

一旦发生根本性的质变，它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。还可以用突变理论对社会进行高层次的有效控制，为此就需要研究事物状态与控制因素之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点，还要研究突变的方向与幅度。